Валерий Алексеевич Гриценко

В период с 18.04.2013 по 30.05.2013 он прочитал миникурс «Введение в модулярные формы от одной, двух, трёх,…, десяти и 26 переменных» (6 лекций и 4 семинара).

Миникурс проходил на факультете математики НИУ ВШЭ (ул. Вавилова, д.7) по четвергам в 17.00 в аудитории 1001.

24.04.2013, в 12.00, ауд. 204 (факультет математики НИУ ВШЭ), состоялся семинар к миникурсу, посвященный модулярным формам от нескольких переменных и их связи с ортогональными группами. На семинаре обсуждались дополнительные темы, не вошедшие в курс, а также возможные исследовательские задачи в этом направлении.

Модулярные формы различных типов встречаются в теории чисел, в алгебраической геометрии, в математической физике и теории алгебр Ли. В предлагаемом курсе мы планируем представить модулярные формы в их обще математическом аспекте.

Начнём с классических примеров модулярных форм одной комплексной переменной: тэта-ряда унимодулярной решётки Е8, ряда Эйзенштейна веса 4, функций Дедекинда и Рамануджана. Эти классические функции являются коэффициентами Тейлора модулярных форм Якоби от двух переменных. В качестве примеров форм от двух переменных мы рассмотрим тэта-функцию Якоби и функцию Вейерштрасса.

На пространствах модулярных форм от одной и двух переменных действуют различные операторы. Нам потребуются квазимодулярные дифференциальные операторы и операторы Гекке.

Формы Якоби являются, в свою очередь, коэффициентами Фурье модулярных форм Зигеля от трёх переменных. Мы рассмотрим эффективную конструкцию подъёма форм Якоби, которая даёт очень много примеров модулярных форм Зигеля, имеющих многочисленные приложения в геометрии, в теории алгебр Ли и в струнной физике.

Все перечисленные выше формы являются аналитическими функциями на трубе будущего, т. е., на классической однородной области вещественной ортогональной группы сигнатуры (2, n) для любого натурального n. Мы рассмотрим классические модулярные формы, формы Якоби и модулярные формы Зигеля рода 2 с этой точки зрения. Затем дадим их естественные обобщения в случае 10 и 26 переменных. В той части курса мы сделаем первые шаги по направлению к теории Борчердса (медаль Филдса 1998).

Этот вводный курс рассчитан на начинающих, но он может быть интересен и "продвинутым" слушателям.

The Siegel modular forms with respect to the paramodular group of level N (the integral symplectic group of the skew-symmetric form with the elementary divisors (1,N)) appear in the following conjecture of A. Brumer which predicts the first explicit relation in the Langlands correspondence between L-functions of modular forms on groups of rank more than one and Hasse-Weil L-functions of some algebraic varieties. The BRUMER Paramodular Conjecture: There is a one-to-one correspondence between isogeny classes of rational abelian surfaces A of conductor N with End(Q(A))=Z and weight 2 newforms F on the paramodular group of level N with rational eigenvalues, not in the span of the Gritsenko lifts, such that L (A, s) = Spin-L (F, s). In the talk we propose a method of construction of Siegel modular forms of weight 2 and 3 (weight 3 is the canonical weight) using the Borcherds automorphic products based on the so-called theta-blocks. We give a new general theorem about everywhere holomorphic Borcherds products, a first infinite series of identities between Borcherds products and Gritsenko's liftings for paramodular forms of weight 3 and the first example of anti-symmetric (i.e., very new) Hecke eigenforms of weight 2 for p=587.

This modular form is a good experimental object in order to check a particular case of the paramodular Brumer conjecture. The talk is based on my new joint results with C. Poor and D. Yuen.

Имеются две бесконечные серии простых гиперкэлеровых многообразий (неприводимых голоморфных симплектических многообразий) - это деформации симметрических степеней (схемы Гильберта) К3 и абелевых поверхностей. Размерности пространства модулей поляризованных многообразий типа К3^[n] и обобщëнных многообразий Куммера равны соответственно 20 и 4. Для К^[n] известны четыре примера унирациональных пространств модулей (Voisin, O'Grady, Debarre-Voisin, Iliev-Ranestad) и доказано, что такие пространства модулей имеют общий тип, если степень поляризации многообразия типа К3^[n] достаточно велика (Gritsenko-Hulek-Sankaran). О геометрическом типе модулей обобщëнных многообразий Куммера совершенно НИЧЕГО не известно. 

В этом докладе будет описан десяток примеров таких 4-х мерных пространств модулей, которые оказываются по крайней мере унилинейчатыми. Доказательство использует технику рефлективных модулярных форм на ортогональных группах. Аналогичный метод дает примеры унилинейчатых 5-мерных пространств модулей поляризованных 6-мерных гиперкэлеровых многообразий O'Grady. Это мой новый совместный проект с К. Hulek (Hannover).