В докладе будут рассмотрены основные свойства знаменитой модулярной формы Борчердса от 26 переменных. Мы дадим все необходимые определения и сформулируем классификационную проблему, которая будет в центре внимания нашего семинара в этом году.

P.S. Про аффинную модель однородной области четвертого типа, рациональные квадратичные дивизоры,  определение модулярных форм на ортогональной группе O(2,n), o разложенияx Фурье модулярных форм  смотрите главы 6—8 из статьи Gritsenko-Hulek-Sankaran “Moduli of K3 surfaces and irreducible symplectic manifolds”.

Про 24 различные представления формы Борчердса  см. работу
V. Gritsenko, “24 faces of the Borcherds modular form Ф_12”.

 GHS-Handbook of Moduli copy (PDF, 759 Кб)

 Gritsenko-24-Faces of the Borcherds form (PDF, 263 Кб)

Доклад следует моей статье "Теория лоренцевых алгебр Каца--Муди," Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., ВИНИТИ, 1999, том 69, 147--167. Опубликована также на английском и в arXiv:math/9810001. Там же можно найти точные ссылки и детали.

 Gritsenko-Nikulin02 (PDF, 649 Кб)

 Nikulin20-09-15 (PDF, 213 Кб)

 Nikulin-99 (PDF, 3.62 Мб)

Аннотация.
Дзета-функция и многократная гамма-функция Барнса, бесконечные базисные произведения и эллиптические гамма-функции, примеры преобразований из SL(3,Z) и SL(4,Z) групп над ними. Формула вычисления эллиптического бета-интеграла как структурный пример эллиптических гипергеометрических функций, зависящих от набора комплексных абелевых переменных и двух базисных (модулярных) параметров. Отождествление с явной "универсальной" формулой над характерами наборов представлений группы SU(2,2|1) x G x F, где SU(2,2|1) - суперконформная группа базового пространства Минковского, G - компактная группа локальных калибровочных преобразований в расслоении, F - компактная группа, для которой абелевы переменные описывают максимальный тор. Суперсимметричный индекс как топологическая характеристика многообразий. Тождества для эллиптических гипергеометрических интегралов как равенства суперконформных индексов в дуальных четырехмерных суперсимметричных теориях поля.

Ссылки.
Общая теория: В.П. Спиридонов, Очерки теории эллиптических гипергеометрических функций, Успехи Мат. Наук 63:3 (2008), 3-72; доступно на странице http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=9040 (English version: http://arxiv.org/abs/0805.3135 ) Связь с индексами: V.P. Spiridonov and G.S. Vartanov, Elliptic hypergeometry of supersymmetric dualities, Commun. Math. Phys. 304 (2011), 797-874 ( http://arxiv.org/abs/0910.5944 ). Важность SL(3,Z)-преобразований: V.P. Spiridonov and G.S. Vartanov, Elliptic hypergeometric integrals and 't Hooft anomaly matching conditions, J. High Energy Phys. 06 (2012), 016 ( http://arxiv.org/abs/1203.5677 ). Связь с реализацией группы перестановок в расслоенных пространствах: С.Э. Деркачев, В.П. Спиридонов, Уравнение Янга-Бакстера, перестановки параметров и эллиптический бета-интеграл, Успехи Мат. Наук 68:6 (2013), 59-106 (English version: http://arxiv.org/abs/1205.3520 )

Аннотация.
Пространства модулей некоторых классов алгебраических многообразий естественным образом аналитически изоморфны плотным открытым подмножествам факторпространств симметрических областей (эрмитовых симметрических пространств некомпактного типа) по арифметическим дискретным группам их голоморфных преобразований. Классический пример: пространство модулей гладких плоских кубических кривых изоморфно факторпространству верхней полуплоскости по модулярной группе Клейна . Это находит свое выражение в том, что (градуированная) алгебра модулярных форм Клейна изоморфна алгебре инвариантов кубической формы от трех переменных (относительно группы ), которая, как известно, свободно порождается однородными многочленами степеней 4 и 6. Пространство модулей кубических кривых есть (проколотый) проективный спектр этой алгебры. В этом и всех подобных примерах изоморфизм осуществляется с помощью отображения периодов – интегрирования голоморфных внешних дифференциальных форм старшей степени по циклам половинной размерности. Утверждение о том, что отображение периодов является изоморфизмом аналитических пространств, называется теоремой Торелли для данного класса алгебраических многообразий. Пользуясь интерпретацией пространства модулей алгебраических кривых рода 2 как факторпространства "верхней полуплоскости Зигеля" (трехмерной симметрической области типа III) по группе , Игуса в 1962 г. доказал, что алгебра четных автоморфных форм на относительно группы свободно порождается формами степеней 4,6,10,12. Наибольший интерес с точки зрения связи между алгебраической теорией инвариантов и теорией автоморфных форм представляют алгебраические поверхности типа , типичными представителями которых являются квартики, имеющие не более чем простые особенности. Теорема Торелли для поверхностей типа была доказана в работе И.И. Пятецкого-Шапиро и И.Р. Шафаревича (1971). Из нее следует, что пространства модулей алгебраических поверхностей типа могут быть описаны в терминах арифметических факторов симметрических областей типа IV – симметрических пространств . В частности, пространство модулей квартик с простыми особенностями изоморфно плотному открытому подмножеству арифметического факторпространства 19-мерной симметрической области типа IV. В алгебраических терминах это означает, что алгебра инвариантов формы четвертой степени от 4 переменных изоморфна некоторой локализации соответствующей алгебры автоморфных форм на области . Эти алгебры, однако, устроены неимоверно сложно, и из факта их изоморфизма трудно извлечь какую-либо полезную информацию. Оказывается разумным рассматривать мультиполяризованные квартики – квартики, в решетке алгебраических циклов которых выделена подрешетка какого-либо указанного типа, содержащая класс плоского сечения. Пространства модулей мультиполяризованных квартик определенных типов можно интерпретировать как арифметические факторпространства областей . Таким способом докладчику удалось доказать, что алгебры автоморфных форм на областях , относительно групп свободны, и найти степени их образующих [1]. (Например, при эти степени равны 4,6,8,10,12,14,16,18.) Из свободности алгебры автоморфных форм следует, что при указанных значениях группа порождается (комплексными) отражениями. Более точно, она порождается отражениями не только как группа преобразований области , но и как группа преобразований естественного -расслоения над , голоморфными функциями на котором являются автоморфные формы. Заметим, что из всех симметрических областей только комплексные шары и области типа IV обладают комплексными отражениями. Упомянутая выше верхняя полуплоскость Зигеля рода 2 может также рассматриваться как симметрическая область типа IV. Используя этот изоморфизм, докладчик повторил результат Игусы описанным выше методом [2].

[1] E.B. Vinberg. Some free algebras of automorphic forms on symmetric domains of type IV. Transformation Groups, 2010, 15, no. 3, 701-741.
[2] Э.Б. Винберг. Об алгебре модулярных форм Зигеля рода 2. Тpуды ММО, 2013, 74, вып.1, 2-17.<\div>

Автоморфные произведения Борчердса успешно используются для решения различных задач метематики и теоретической физики. В качестве примеров можно привести доказательство гипотезы "Monstrous moonshine", данное Борчердсом, определение размерности Кодаиры пространств модулей поляризованных К3 поверхностей (последний открытый вопрос программы А.Вейля о К3 поверхностях), предложенное в цикле работ Гриценко-Хулека-Санкарана (2005-12), результаты о втором квантованном эллиптическом роде многообразий Калаби-Яу и N=4 теории (Dijkgraaf, Moore, E. and H. Verlinde; Zagier, Dabholkar, ... ), явное вычисление BCOV-аналитического кручения (Yoshikawa) и т.д.

В этом докладе я планирую дать общедоступное введение в теорию автоморфных произведений Борчердса и покажу, как они используются для решения различных геометрических задач. Я дам обзор самых последних результатов (опубликованных или анонсированных) и сформулирую открытые вопросы и проблемы. Доклад рассчитан на широкую аудиторию. Специальных знаний по теории автоморфных форм у слушателей не предполагается -- все необходимые понятия будут объяснены по ходу доклада.

Рассматривается ансамбль случайных операторов, эадаваемых симметричными трехдиагональными матрицами, вне-диагональные элементы которых могут принимать независимо значения "1" с вероятностью q и "0" с вероятностью 1-q. Спектральная плотность ансамбля таких операторов имеет простую теоретико-числовую структуру. Анализ хвостов спектральной плотности позволяет высказать гипотезу о том, что в пределе q->1 спектральная плотность определяется выражением \sqrt{-\log |\eta(\tau)| }, где \eta - эта-функция Дедекинда вблизи действительной оси (т.е. Im(tau)~ (1-q)^2 ->0).

 Nechaev_Ultram_2015 (PDF, 1.11 Мб)

Я расскажу о классической теореме Шевалле, о свободе алгебры инвариантов конечных линейных групп, порожденных отражениями, а затем плавно перейду к теоремам типа теоремы Шевалле, касающимся, на этот раз, кристаллографических групп отражений в C^n и в комплексном шаре.

We describe some new structure results for automorphic products of singular weight. First we give a simple characterisation of the Borcherds function $\Phi_{12}$. Second we show that holomorphic automorphic products of singular weight on lattices of prime level exist only in small signatures and we derive an explicit bound. Finally we give a complete classification of reflective automorphic products of singular weight on lattices of prime level.