Семинар "Геометрические структуры на многообразиях": Денис Терёшкин
Теорема Габриеля-Попеску и локализации абелевых категорий
Мой рассказ будет продолжением истории Д. Каледина про абелевы категории на прошлой неделе.
Я определю сначала ядра точных функторов, потом общие пары кручения, и, используя эти понятия, докажу теорему Габриеля: по генератору U в категории Гротендика C можно построить точный функтор End(U)-Mod -> C, сопряженный слева к вложению Йонеды.
Так как доказательство, которое я буду рассказывать, принадлежит Нику Куну, во второй половине я (при наличии времени) докажу одну его гипотезу: категория модулей над кольцом не может быть нетривиальным расширением пары категорий модулей над кольцом: если функтор R-Mod -> S-Mod сохраняет (ко)пределы и сюръективен, то его ядро это ограничение скаляров вдоль p: R -> R/I, и I^2 = I.