Семинар "Геометрические структуры на многообразиях": Максим Ретинский и Максим Тимофеев

Связь между алгеброй и геометрией является одним из древнейших сюжетов математики как таковой. Типичным и, пожалуй, главным проявлением этой связи является рассмотрение функций на геометрических пространствах. Однако функции по своей природе коммутативны,
из-за чего они часто бывают недостаточны для описания некоторых теорий, например, квантовой механики. Возникает необходимость работать с некоммутативными объектами, которые
служат естественным аналогом функций на «некоммутативном» пространстве (многообразии). Методам работы с такими объектами и посвящен наш доклад.

Доклад разделен на две части. В первой части больше внимания уделяется категорному подходу Гротендика к алгебраическим многообразиям, то есть изучению их как объектов соответствующей категории. Мы рассмотрим основные гомологические инварианты, которые применяются при
таком подходе, а также расскажем о связи этих конструкций с классическими теориями.

Во второй части доклада речь пойдет о некоммутативной геометрии Конна. Будет изложен необходимый вводный минимум в эту теорию: интерпретацию C*-алгебр как некоммутативных хаусдорфовых пространств, теорию проективных модулей как теорию некоммутативных
векторных расслоений и роль алгебр Хопфа. Также, возможно, будет рассказано о K-теории и её роли в некоммутативной геометрии.