Семинар "Геометрические структуры на многообразиях": Артём Васильков

Во второй части своего рассказа я разберу подход Ломона к доказательству основной теоремы из <<Вейль II>> для кривых. Идея Ломона заключается в том, что вместо выписывания некоторых аналитических оценок (как было в оригинальном подходе Делиня) нужно элегантно применить преобразование Фурье-Делиня для $\ell$-адических пучков. Хотя сама эта техника имеет место и в более общем контексте превратных пучков, полезно разобрать, как она работает на примере гипотезы Вейля. Грубо говоря, с каждым $\ell$-адическим пучком можно связать функцию, которая возвращает след оператора Фробениуса на слое пучка в данной точке. Если теперь рассмотреть случай аффинной прямой над конечным полем из $q$ элементов, то её замкнутые точки отождествляются с группой поля по сложению, а функция следа преобразования Фурье-Делиня для пучка будет равна преобразованию Фурье на конечной абелевой группе от функции следа исходного пучка. В то же время, преобразование Фурье увеличивает норму функции в $q$ раз, тем самым вес пучка увеличивается на единицу после преобразования Фурье. Осталось только проследить, что теорему Делиня о сдвиге весов для когомологий прямого образа можно свести к рассуждению выше. Мы также обсудим, как из основной теоремы Делиня следует тяжёлая теорема Лефшеца над любым полем. Если останется время, я что-то скажу про небольшое усиление основной теоремы и так называемую теорему о чистоте фильтрации монодромией.