Семинар лаборатории алгебраической геометрии: Дмитрий Каледин

Абстракт: 

Расширение чего бы то ни был с квадратом ноль это, в первом приближении, деформация первого порядка; как правило, они классифицируются теми или иными классами когомологий, и такая классификация -- первый шаг в построении полной теории деформаций изучаемого объекта. Если объект -- ассоциативная алгебра, то релевантные когомологии это когомологии Хохшильда. С современной точки зрения, хочется изучать не алгебры, а их абелевы категории модулей, а в принципе, скорее даже производные категории ДГ-модулей. Однако оказывается, что остановится на абелевом уровне и не уходить на производный раньше времени довольно полезно -- если ограничиться абелевыми категориями, то понятие расширения с квадратом ноль становится абсолютно прозрачным, а конструкция классифицирующего класса оказывается очень прямой, и не зависящей от произвольных выборов.

Знание это абсолютно классическое, и уже двадцать лет назад, когда я начинал про это думать, было стандартным. Однако довести это до полной теоремы долгое время не удавалось. Главная проблема -- это выделить класс категорий, с которыми разумно работать.

Сейчас наконец удалось всю эту науку полностью доделать. В частности,  оказалось, что работать можно просто с произвольными категориями Гротендика, и именно в такой общности удается дать внятную и полную классификацию расширений с квадратом ноль. Эти результаты я и хочу рассказать. Это не первый мой рассказ на эту тему, но сейчас, наконец-то, в природе есть законченный текст, так что все приняло окончательный вид.