Семинар лаборатории алгебраической геометрии: Владислав Покидкин (предзащита)
Дискриминанты полиномиальных систем
В 1990-е годы Гельфанд, Капранов, Зелевинский и Штурмфельс положили начало изучению А-дискриминантов многочленов с неопределёнными коэффициентами. А-дискриминант не обязательно является гиперповерхностью, и вычисление его коразмерности оставалось открытой задачей довольно долго. Мы решаем задачу вычисления дискриминанта систем полиномиальных уравнений с неопределёнными коэффициентами для случая, когда количество уравнений совпадает с количеством переменных (квадратных систем). Такие дискриминанты могут иметь несколько компонент различной коразмерности.
В пространстве квадратных матриц мы характеризуем строчно-порождённые векторные подпространства, ограничения детерминанта на которые является неприводимым полиномом. Это позволяет доказать гипотезу Эстерова о том, что дискриминант нелинейной неприводимой квадратной системы является неприводимой гиперповерхностью. Основываясь на этом результате, мы получаем единое описание компонент и степеней трёх типов дискриминантов (А-дискриминантов, смешанных и Кэли) для квадратных систем и переопределённых систем, не сводящихся к недоопределённым. Полученное описание и доказательство гипотезы опирается на теорию полиматроидов.
Описание дискриминантов переопределённых систем определяется индуцированным матроидом соответствующих полиматроидов, а для квадратных систем - главными разбиениями полиматроидов. Мы исследуем связи между полиматроидами, их индуцированными матроидами и главными разбиениями, следуя работам Фудзишигэ и Нараянана. Мы получаем достаточное условие, при котором стягивания полиматроида коммутирует с переходом к индуцированному матроиду. Вдохновляясь теорией дискриминантов, мы вводим классификацию полиматроидов и устанавливаем соответствие между различными классами и критическими значениями полиматроидного ранга. Также классификация указывает на три новые гипотезы о дискриминантах недоопределённых полиномиальных систем.
