Семинар "Геометрические структуры на многообразиях": Евгений Смирнов (ВШЭ, НМУ, GTIIT)

В кольце симметрических многочленов имеется несколько “естественных” базисов; возможно, самый замечательный из них образован многочленами Шура. Они возникают повсеместно: в комбинаторике — как производящие функции таблиц Юнга, в теории представлений — как характеры GL(n), в геометрии — как классы когомологий многообразий Шуберта в грассманианах. Произведение многочленов Шура можно разложить по тому же базису при помощи довольно непростого комбинаторного правила, известного как правило Литтлвуда-Ричардсона.


В 2005 году В.И.Данилов и Г.А.Кошевой определили новый комбинаторный объект: массивы. Массив — это прямоугольная таблица, в каждой клетке которой лежит несколько шариков. Эти шарики можно перемещать по определенным правилам. В терминах массивов можно переговаривать различные конструкции, связанные с многочленами Шура: соответствие RSK, правило Литтлвуда-Ричардсона, кристальные операции на кристаллах Кашивары и т.д. Зачастую это даёт более простые доказательства известных фактов.
Многочлены Шура имеют многочисленные обобщения. Например, вместо таблиц Юнга можно рассматривать их аналоги, в клеточках которых записываются не числа, а подмножества {1,...,n}; производящая функция таких таблиц (set-valued Young tableaux) данной формы — это симметрический многочлен Гротендика, который задает класс структурного пучка многообразия Шуберта в К-теории грассманиана. Или же вместо структурных пучков можно рассматривать пучки идеалов; это даёт так называемые двойственные симметрические многочлены Гротендика, комбинаторное описание которых было получено Т.Ламом и П.Пилявским в 2007 г. Я расскажу о возможных обобщениях понятия массивов на эти случаи; цельной картины тут еще не видно, но кое-что понять уже удаётся.
Доклад отчасти основан на совместной работе c А.Сукачевой.