Дмитрий Сустретов

Дмитрий Сустретов (Hebrew University of Jerusalem) посетил Лабораторию в октябре и ноябре 2012 года, в июле и ноябре-декабре 2013 года. 12 октября 2012 года он выступил на еженедельном семинаре Лаборатории с докладом "Model-theoretic field reconstruction theoremsand an abstract Torelli theorem of Bogomolov-Korotaev-Tschinkel". Abstract: Let C be a smooth curve. The Jacobian variety J(C) is the moduli space of degree 0 divisors on C; it is an Abelian variety. One can define an embedding of C into J(C) which depends on a choice of a point on C. Consider two smooth curves, C1 and C2, of genus ≥ 2, defined over the algebraic closure of a finite field , p ≥ 3, and consider the groups of -rational points of J(C1) and J(C2) with rational points of C1 and C2 as distinguished subsets. If there exists an isomorphism f of J(C1) and J(C2) as abstract groups under which C2 is a shift of C1 then f comes from an isogeny between J(C1) and J(C2) (Bogomolov, Korotaev and Tshinkel, 2009). I will present an overview of the model theoretic proof of this theorem (after B. Zilber), modulo the so-called Relative Trichotomy conjecture. The proof is in fact valid over an arbitrary algebraically closed field (of any characteristic). I will also give an overview of the Relative Trichotomy conjecture which can be seen as a generalisation of classical field reconstruction theorems in abstract projective geometry.

В период с 13 по 21 ноября 2012 года Дмитрий Сустретов прочел мини-курс на тему "Введение в геометрическую теорию моделей". Лекции проходили на факультете математики НИУ ВШЭ.

Аннотация: Одним из ярких сюжетов последнего десятилетия в теории моделей является применение методов геометрической теории моделей в теоретико-числовых задачах типа гипотезы Морделла-Лэнга. В 1996м году Хрущовский обнаружил, что хорошо известные на тот момент теоретико-модельные результаты будучи интерпретированы в подходящем контексте дают решение гипотезы Морделла-Лэнга для функциональных полей, при этом доказательство получается единообразным как для нулевой, так и для положительной характеристики. Позже эти методы были расширены и применены к гипотезам Манина-Мамфорда и Тэйта-Волоха. Вне теоретико-модельного сообщества подход Хрущовского долгое время считался (и наверное до сих пор считается) непонятным, виной чему, по-видимому, культурный барьер. В двух лекциях я постараюсь с одной стороны разъяснить теоретико-модельный жаргон, который позволит ориентироваться в литературе, с другой стороны рассказать об основных результатах, на которые опирается доказательство Хрущовского.

Лекция 1. Насыщенные модели, типы. Элиминация кванторов методом back-and-forth (на примере алгебраически замкнутых полей). Ранг Морли, $\omega$-стабильные теории. Примеры: компактные комплексные многообразия, дифференциально замкнутые поля.

Лекция 2. Сильно минимальные множества. Предгеометрии, гипотеза о трихотомии. Конфигурация группы. Геометрии Зарисского. План доказательства Хрущовского гипотезы Морделла-Лэнга над функциональным полем.

Лекция 3. Цель заключительной лекции мини-курса - изложить схему теоретико-модельного доказательства Хрущовского гипотезы Моредлла-Лэнга над функциональным полем. Я повторю основные понятия, введённые в последний раз (ранг Морли, форкинг, канонический базис), сформулирую принцип трихотомии Зильбера и расскажу о его роли в доказательстве. Если останется время, я объясню определимость типов и её применение к вопросам униформности в задачах типа Морделла-Лэнга.

Литература:
Marker. Model theory. An introduction. (Chapter 6).
Bouscaren. Model theory and algebraic geometry. LNM 1696. (есть русский перевод, изданный МЦНМО)


Во время своего второго визита Дмитрий Сустретов выступил 18 июля 2013 года на внеочередном семинаре Лаборатории с докладом "Реконструкция поля по групповому закону".

Аннотация: Пусть G аффинная группа поля K, тогда поле К можно восстановить по G зная только структуру абстрактной группы на G. В теории моделей изучают подобного рода конструкции, которые называются там "интерпретациями" (поле K интерпретируется в группе G). Плодотворная теория была разработана для групп, допускающих аксиоматически определённое понятие размерности и имеющих при этом конечную размерность; аксиомы постулируют некоторые свойства размерности многообразий в алгебраической геометрии. Целью доклада является объяснить следующий результат (Несин, Зильбер): пусть G разрешимая, но не нильпотентная алгебраическая группа, определённая над алгебраически замкнутым полем К, тогда поле К восстанавливается по абстрактной группе K-точек G. Теоретико-модельная терминология будет использована минимально и будет объяснена.


Дмитрий Сустретов также принял участие в четвертой международной конференции "Дзета-функции" и в третьей летней математической школе "Алгебра и геометрия".


В период с 26 ноября по 12 декабря 2013 года Дмитрий Сустретов прочел миникурс "Геометрическая теория моделей" (6 лекций). Занятия проходили в аудитории 1001 по вторникам в 15.30 и четвергам в 17.00. Исключение - 12 декабря в 15.30.

Аннотация: Геометрическая теория моделей изучает связь между устройством булевой алгебры определимых множеств и определимыми в модели алгебраическими структурами.

Основной метод в этой области обобщает классические теоремы абстрактной проективной геометрии, когда по какой-то комбинаторной конфигурации строится группа или поле, в терминах которых описывается исходная структура. Однако если в теоремах реконструкции абстрактной проективной геометрии, грубо говоря, мы имеем дело с точками и прямыми, то в геометрической теории моделей мы имеем дело, например, с семействами кривых.

Содержание курса составляют такие обобщённые теоремы реконструкции и сопутствующие результаты.

1. Определимые множества, типы, насыщенные модели. Примеры теорий размерности и независимости, геометрии Зарисского.

2. Группы конечной размерности, chain conditions. Теорема Зильбера про indecomposables. Определимость коммутатора.

3. Реконструкция поля по определимому в нём действию группы на минимальной абелевой группе.

4. Определимые разрешимые группы, "абстрактная" теорема Ли-Колчина, реконструкция поля по определимой в нём разрешимой, но не нильпотентной группе.

5. Реконструкция поля по определимому в нём минимальному однородному пространству (a.k.a. "field configuration" Грушовского).

6. Бесконечное поле, определимое в алгебраически замкнутом поле, определимо изоморфно ему самому. Теоретико-модельное доказательство (ослабленной) теоремы Бореля-Титса.

7. Бирациональные групповые законы, теорема Вейля про group chunks. Теорема (Вейля-)Грушовского про то, что про-определимая группа есть пересечение просто определимых.

8. Предгеометрии, модулярность, групповая конфигурация. Применение: теорема Маркера-Пиллая про не локально модулярные расширения одномерных алгебраических групп.