• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Автоморфные формы и их приложения (архив 2015-2016 гг)

В 2015 году начал работу совместный еженедельный семинар Лаборатории алгебраической геометрии, лаборатории Понселе (Laboratoire J.-V.Poncelet, CNRS) и Независимого Московского Университета.

Организаторы: Сергей Галкин и Валерий Гриценко

Место: факультет математики ВШЭ,с 2016-2017 учебного года: ул.Усачева, дом 6, комната 306

Время: вторник, 18:30-20:30

С 2017 года семинар продолжил свою работу на базе Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм. Актуальная страница семинара теперь доступна по этой ссылке.


Научная программа

Основная задача планируемого семинара начать научно-исследовательскую работу в области автоморфных форм различных типов и их приложений в алгебраической геометрии и топологии, в теории чисел, в теории алгебр Ли, в теории особенностей и физике. Одной из основных учебных целей планируемого семинара является формирование группы студентов, которые начнут писать курсовые, дипломные и диссертационные работы. При этом основной акцент будет сделан на приложения автоморфных форм в различных областях математики. Темы студенческих работ будут носить мультидисциплинарный характер, поэтому семинар планируется как открытая структура, готовая к сотрудничеству с различными научными семинарами.

В 2015/16 учебном году мы планируем исследовать рефлективные модулярные формы (произведения Борчердса) на ортогональных группах 2-элементарных решеток, построить теорию дифференциальных и псевдо-дифференциальных операторов на пространствах модулярных форм типа Якоби от многих переменных. Планируется рассмотреть автоморфные формы, появляющиеся в теории зеркальной симметрии для эллиптических кривых, поверхностей Дель Пеццо, поверхностей K3, трехмерных многобразий Фано, в теории инвариантов Громова-Виттена, и понять скрытые связи между этими геометрическими объектами и некоторыми спорадическими простыми группами. Также планируется изучение автоморфных форм для кокомпактных групп, таких как фундаментальные группы ложных проективных пространств. В качестве основных приложений планируется исследовать геометрический тип пространств модулей поляризованных поверхностей Энриквеса и пространств модулей поляризованных голоморфных симплектических многообразий, построить новые лоренцевые алгебры Каца-Муди,  рассмотреть теоремы типа  Шевалле для аффинных и гиперболических систем корней.

Доклады:


15.09.2015

В. Гриценко  (USTL/ВШЭ).  Произведения Борчердса - план изучения.

С. Галкин (ВШЭ).  Geometric moonshines.

I will describe some instances of geometric moonshines: surprising appearance of automorphic forms and representations of sporadic groups in seemingly unrelated geometric topics.

22.09.2015

В.Гриценко (USTL/ВШЭ). Рефлективная форма Борчердса Ф_12. Введение.

В докладе будут рассмотрены основные свойства знаменитой модулярной формы Борчердса от 26 переменных. Мы дадим все необходимые определения и сформулируем классификационную проблему, которая будет в центре внимания нашего семинара в этом году.

P.S. Про аффинную модель однородной области четвертого типа, рациональные квадратичные дивизоры,  определение модулярных форм на ортогональной группе O(2,n), o разложенияx Фурье модулярных форм  смотрите главы 6—8 из статьи Gritsenko-Hulek-Sankaran “Moduli of K3 surfaces and irreducible symplectic manifolds”.

Про 24 различные представления формы Борчердса  см. работу
V. Gritsenko, “24 faces of the Borcherds modular form Ф_12”.

 GHS-Handbook of Moduli copy (PDF, 759 Кб)

 Gritsenko-24-Faces of the Borcherds form (PDF, 263 Кб)


29.09.2015

В. Никулин (МИАН).  Лоренцевы алгебры Каца-Муди и автоморфные формы. Введение.

Доклад следует моей статье "Теория лоренцевых алгебр Каца--Муди," Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., ВИНИТИ, 1999, том 69, 147--167. Опубликована также на английском и в arXiv:math/9810001. Там же можно найти точные ссылки и детали.

 Gritsenko-Nikulin02 (PDF, 649 Кб)

 Nikulin20-09-15 (PDF, 213 Кб)

 Nikulin-99 (PDF, 3.62 Мб)


06.10.2015

В. Спиридонов (ОИЯИ, Дубна). Бесконечные произведения, эллиптические гипергеометрические интегралы, топологические индексы.

Аннотация.
Дзета-функция и многократная гамма-функция Барнса, бесконечные базисные произведения и эллиптические гамма-функции, примеры преобразований из SL(3,Z) и SL(4,Z) групп над ними. Формула вычисления эллиптического бета-интеграла как структурный пример эллиптических гипергеометрических функций, зависящих от набора комплексных абелевых переменных и двух базисных (модулярных) параметров. Отождествление с явной "универсальной" формулой над характерами наборов представлений группы SU(2,2|1) x G x F, где SU(2,2|1) - суперконформная группа базового пространства Минковского, G - компактная группа локальных калибровочных преобразований в расслоении, F - компактная группа, для которой абелевы переменные описывают максимальный тор. Суперсимметричный индекс как топологическая характеристика многообразий. Тождества для эллиптических гипергеометрических интегралов как равенства суперконформных индексов в дуальных четырехмерных суперсимметричных теориях поля.

Ссылки.
Общая теория: В.П. Спиридонов, Очерки теории эллиптических гипергеометрических функций, Успехи Мат. Наук 63:3 (2008), 3-72; доступно на странице http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=9040 (English version: http://arxiv.org/abs/0805.3135 ) Связь с индексами: V.P. Spiridonov and G.S. Vartanov, Elliptic hypergeometry of supersymmetric dualities, Commun. Math. Phys. 304 (2011), 797-874 ( http://arxiv.org/abs/0910.5944 ). Важность SL(3,Z)-преобразований: V.P. Spiridonov and G.S. Vartanov, Elliptic hypergeometric integrals and 't Hooft anomaly matching conditions, J. High Energy Phys. 06 (2012), 016 ( http://arxiv.org/abs/1203.5677 ). Связь с реализацией группы перестановок в расслоенных пространствах: С.Э. Деркачев, В.П. Спиридонов, Уравнение Янга-Бакстера, перестановки параметров и эллиптический бета-интеграл, Успехи Мат. Наук 68:6 (2013), 59-106 (English version: http://arxiv.org/abs/1205.3520 )

13.10.2015

Э. Винберг (МГУ). Модули мультиполяризованных K3-поверхностей и автоморфные формы на симметрических областях типа IV.

Аннотация.
Пространства модулей некоторых классов алгебраических многообразий естественным образом аналитически изоморфны плотным открытым подмножествам факторпространств симметрических областей (эрмитовых симметрических пространств некомпактного типа) по арифметическим дискретным группам их голоморфных преобразований. Классический пример: пространство модулей гладких плоских кубических кривых изоморфно факторпространству верхней полуплоскости по модулярной группе Клейна . Это находит свое выражение в том, что (градуированная) алгебра модулярных форм Клейна изоморфна алгебре инвариантов кубической формы от трех переменных (относительно группы ), которая, как известно, свободно порождается однородными многочленами степеней 4 и 6. Пространство модулей кубических кривых есть (проколотый) проективный спектр этой алгебры. В этом и всех подобных примерах изоморфизм осуществляется с помощью отображения периодов – интегрирования голоморфных внешних дифференциальных форм старшей степени по циклам половинной размерности. Утверждение о том, что отображение периодов является изоморфизмом аналитических пространств, называется теоремой Торелли для данного класса алгебраических многообразий. Пользуясь интерпретацией пространства модулей алгебраических кривых рода 2 как факторпространства "верхней полуплоскости Зигеля" (трехмерной симметрической области типа III) по группе , Игуса в 1962 г. доказал, что алгебра четных автоморфных форм на относительно группы свободно порождается формами степеней 4,6,10,12. Наибольший интерес с точки зрения связи между алгебраической теорией инвариантов и теорией автоморфных форм представляют алгебраические поверхности типа , типичными представителями которых являются квартики, имеющие не более чем простые особенности. Теорема Торелли для поверхностей типа была доказана в работе И.И. Пятецкого-Шапиро и И.Р. Шафаревича (1971). Из нее следует, что пространства модулей алгебраических поверхностей типа могут быть описаны в терминах арифметических факторов симметрических областей типа IV – симметрических пространств . В частности, пространство модулей квартик с простыми особенностями изоморфно плотному открытому подмножеству арифметического факторпространства 19-мерной симметрической области типа IV. В алгебраических терминах это означает, что алгебра инвариантов формы четвертой степени от 4 переменных изоморфна некоторой локализации соответствующей алгебры автоморфных форм на области . Эти алгебры, однако, устроены неимоверно сложно, и из факта их изоморфизма трудно извлечь какую-либо полезную информацию. Оказывается разумным рассматривать мультиполяризованные квартики – квартики, в решетке алгебраических циклов которых выделена подрешетка какого-либо указанного типа, содержащая класс плоского сечения. Пространства модулей мультиполяризованных квартик определенных типов можно интерпретировать как арифметические факторпространства областей . Таким способом докладчику удалось доказать, что алгебры автоморфных форм на областях , относительно групп свободны, и найти степени их образующих [1]. (Например, при эти степени равны 4,6,8,10,12,14,16,18.) Из свободности алгебры автоморфных форм следует, что при указанных значениях группа порождается (комплексными) отражениями. Более точно, она порождается отражениями не только как группа преобразований области , но и как группа преобразований естественного -расслоения над , голоморфными функциями на котором являются автоморфные формы. Заметим, что из всех симметрических областей только комплексные шары и области типа IV обладают комплексными отражениями. Упомянутая выше верхняя полуплоскость Зигеля рода 2 может также рассматриваться как симметрическая область типа IV. Используя этот изоморфизм, докладчик повторил результат Игусы описанным выше методом [2].

[1] E.B. Vinberg. Some free algebras of automorphic forms on symmetric domains of type IV. Transformation Groups, 2010, 15, no. 3, 701-741.
[2] Э.Б. Винберг. Об алгебре модулярных форм Зигеля рода 2. Тpуды ММО, 2013, 74, вып.1, 2-17.<\div>

20.10.2015
(совместная сессия с заседанием с Московского математического общества, 18ч30 мин., ауд. 16-10 Главного здания МГУ)

В. Гриценко (ВШЭ).  Автоморфные произведения Борчердса в геометрии, топологии и физике.

Автоморфные произведения Борчердса успешно используются для решения различных задач метематики и теоретической физики. В качестве примеров можно привести доказательство гипотезы "Monstrous moonshine", данное Борчердсом, определение размерности Кодаиры пространств модулей поляризованных К3 поверхностей (последний открытый вопрос программы А.Вейля о К3 поверхностях), предложенное в цикле работ Гриценко-Хулека-Санкарана (2005-12), результаты о втором квантованном эллиптическом роде многообразий Калаби-Яу и N=4 теории (Dijkgraaf, Moore, E. and H. Verlinde; Zagier, Dabholkar, ... ), явное вычисление BCOV-аналитического кручения (Yoshikawa) и т.д.

В этом докладе я планирую дать общедоступное введение в теорию автоморфных произведений Борчердса и покажу, как они используются для решения различных геометрических задач. Я дам обзор самых последних результатов (опубликованных или анонсированных) и сформулирую открытые вопросы и проблемы. Доклад рассчитан на широкую аудиторию. Специальных знаний по теории автоморфных форм у слушателей не предполагается -- все необходимые понятия будут объяснены по ходу доклада.

27.10.2015

С. Галкин (ВШЭ).  Автоморфные формы на комплексном шаре

03.11.2015

Сергей Нечаев (Лаборатория Понселе). О проявлении модулярной инвариантности в спектральной плотности случайныхоператоров лапласовского типа.

Рассматривается ансамбль случайных операторов, эадаваемых симметричными трехдиагональными матрицами, вне-диагональные элементы которых могут принимать независимо значения "1" с вероятностью q и "0" с вероятностью 1-q. Спектральная плотность ансамбля таких операторов имеет простую теоретико-числовую структуру. Анализ хвостов спектральной плотности позволяет высказать гипотезу о том, что в пределе q->1 спектральная плотность определяется выражением \sqrt{-\log |\eta(\tau)| }, где \eta - эта-функция Дедекинда вблизи действительной оси (т.е. Im(tau)~ (1-q)^2 ->0).

 Nechaev_Ultram_2015 (PDF, 1.11 Мб)


10.11.2015

Осип Шварцман (ВШЭ).  Теоремы Шевалле для групп комплексных отражений в С^n и на верхней полуплоскости.

Я расскажу о классической теореме Шевалле, о свободе алгебры инвариантов конечных линейных групп, порожденных отражениями, а затем плавно перейду к теоремам типа теоремы Шевалле, касающимся, на этот раз, кристаллографических групп отражений в C^n и в комплексном шаре.

17.11.2015 

Nils Sheithauer (TU, Darmstadt). Automorphic Borcherds products of singular weight..

We describe some new structure results for automorphic products of singular weight. First we give a simple characterisation of the Borcherds function $\Phi_{12}$. Second we show that holomorphic automorphic products of singular weight on lattices of prime level exist only in small signatures and we derive an explicit bound. Finally we give a complete classification of reflective automorphic products of singular weight on lattices of prime level.

19.11.2015
( Четверг 17ч00, ауд 207) Дополнительный доклад, рассчитанный на студентов.

Nils Scheithauer (TU Darmstadt) Modular forms for the Weil representation.

Modular forms for the Weil representation play an important role in the representation theory of vertex algebras and in the theory of automorphic forms on orthogonal groups. We give an introduction into the theory of these functions. In particular we describe constructions, the dimension formula and applications.

24.11.2015

Андрей Левин (ВШЭ). Модулярные ядра Коши.

Мы рассмотрим автоморфные формы на квадрате верхней полуплоскости с полюсом первого порядка на диагонали. Будут обсуждены как конструкция таких объектов через аналитическое продолжение рядов Загие так и их приложения, например к доказательству изоморфизма Эйхлера-Шимуры.

26.11.2015

Дополнительный доклад, рассчитанный на студентов.

Валерий Гриценко (CEMPI, Lille/ВШЭ). Голоморфный эллиптический род комплексных многообразий I.

По любому (почти) комплексному многообразию  размерности n с нулевым  (над полем) первым классом  Черна  мы построим  модулярную форму Якоби  веса 0 и индекса  n/2. q-постоянный коэффициент Фурье формы Якоби  совпадает с chi_y-родом Хирцебруха рассматриваемого могообразия. Для понимания лекции достаточно посмотреть определение тета-функции Якоби (функция \theta_{1/2,1/2} in Mumford’s Tata Lecture Notes on Theta Functions или \theta_{1,1} в https://en.wikipedia.org/wiki/Theta_function).

01.12.2015

Сергей Галкин  (ВШЭ). Mirror Moonshine

Я расскажу про явление, впервые обнаруженное Lian-Yau, и названное  'Mirror Moonshine': решения уравнений Пикара-Фукса для семейств, 
зеркально симметричных к многообразиям Калаби-Яу со специальной голономией оказываются модулярными формами. В настоящее время этот феномен рассматривался и более-менее понят для эллиптических кривых и поверхностей K3. Но он имеет место и для известных обобщенных гиперкелеровых многообразий большей размерности. Здесь начинается пространство для новых исследований и открытий.

03.12.2015

Дополнительный доклад, рассчитанный на студентов.

Денис Терешкин (ВШЭ). Формы Якоби и эллиптические когомологии (по статье B. Totaro).


08.12.2015

Петр Зограф (ПОМИ/Лаборатория Чебышева). Тау-функция и геометрия пространств модулей.

Тау-функция -- это естественный объект, который возникает при изучении изомонодромных деформаций систем линейных дифференциальных уравнений. Мы рассмотрим тау-функции на пространствах допустимых накрытий комплексной проективной прямой и на пространствах модулей абелевых и квадратичных дифференциалов на комплексных алгебраических кривых. Мы проинтерпретируем тау-функцию как сечение линейного расслоения, выразим ее через тета-функцию и прим-форму и явно вычислим ее дивизор. При этом мы не только получим новые соотношения в группах Пикара, но и выразим класс Ходжа через классы дивизоров компактификации. (По совместным работам с А.
Кокотовым и Д. Короткиным.)

10.12.2015

Дополнительный доклад, рассчитанный на студентов.

Валерий Гриценко (CEMPI, Lille/ВШЭ). Формы Якоби, построенные по векторным расслоениям: обобщенный эллиптический (якобиев) род комплексных многообразий II.

В докладе будет рассмотрена вторая автоморфная коррекция форм Якоби и ее приложение к конструкции  обобщеннего якобиева  рода, объединяющая род Виттена, эллиптический род, функцию распределения (0,2)-теории и т.д.

15.12.2015

В. Голышев (ИППИ РАН). Уравнения D3 со свойством мультипликативности и  эта-произведения.

Скажем, что невырожденное уравнение D3 обладает свойством мультипликативности, если последовательность коэффициентов разложения 
его аналитического решения по натуральному параметру мультипликативна. Мы перечислим все такие уравнения (совместная работа с М. Власенко)

17.12.2015

(Дополнительный   доклад на учебном студенческом семинаре для студентов и всех интересующихся)

Валерий Гриценко (CEMPI, Lille/ВШЭ). Формула знаменателя аффинной алгебры Каца-Муди как форма Якоби.

Один из основных результатов теории аффинных алгебр Ли состоит в том, что формула знаменателя Каца-Вейля такой алгебры выражается в виде произведения тета-функций.  Удивительно, что никто не исследовал точный тип этих формул как форм Якоби многих переменных. Это будет сделано в этом докладе.

22.12.2015

Валерий Гриценко (CEMPI, Lille/ВШЭ). Автоморфные дискриминанты.

Автоморфные дискриминанты, рассматриваемые в докладе, — это модулярные формы, носитель дивизора которых совпадает с дискриминантом пространств  модулей решетчато-поляризованных К3 поверхностей. Если кратность всех  нулей равна одному, то эта рефлективная модулярная форма определяет гиперболическую (Лоренцеву) алгебру Каца-Муди и арифметическую зеркальную симметрию К3 поверхностей, введенную в работах Гриценко-Никулина в конце 90х.

В докладе будет  представлена теорема, которая позволяет построить много интересных рефлективных модулярных  форм. В частности,
1) более 35 автоморфных дискриминантов и Лоренцевых алгебр Каца-Муди нового класса гиперболических систем корней, найденных В. В. Никулиным;
2) девять (из 14) автоморфных дискриминантов версальных деформаций исключительных особенностей Арнольда;
3) дискриминант квартик в P^3, который играл важную роль в докладе Э. Б.  Винберга на нашем семинаре (от 13.10.2015);
4) дискриминанты двух первых пространств модулей поляризованных  неприводимых голоморфных симплектических многообразий.

09.02.2016

Сергей Галкин (НИУ ВШЭ). Гипотеза  Яу-Заслова, наброски её доказательств, и некоторые обобщения.

Гипотеза Яу-Заслова утверждает, что производящая функция для числа рациональных кривых на K3 поверхности обратна к модулярной дельта-функции Рамануджана. Я расскажу формулы подобного вида и их доказательства.

16.02.2016

Василий Болбачан (НИУ ВШЭ). Модулярное описание пространства модулей кубических поверхностей со  специальной группой автоморфизмов.

Кубическая поверхность это множество нулей многочлена 3 степени в P3. Я попытаюсь рассказать про пространство модулей таких поверхностей, что чем-то напоминает кубические кривые. Оно является конфигурационным пространством, фактором четырехмерного комплексного шара по дискретной подгруппе. Меня будут интересовать кубические поверхности с автоморфизмами и то, как все это связанно с кубическими кривыми. Будут (эрмитовые) решетки над Эйзенштейновыми числами, будет группа Вейля системы корней E6 и ее подгруппы, но она будет появляться лишь в реализациях, поэтому не пугайтесь ее.

01.03.2016

Артем Приходько (НИУ ВШЭ, НМУ). Топологические модулярные формы и род Виттена.

Эллиптические когомологии - это обобщенная теория когомологий, строящаяся по формальному групповому закону на эллиптической кривой. Спектр топологических модулярных форм tmf - это (в некотором вполне конкретном смысле) универсальная теория эллиптических когомологий.

Род со значениями в кольце R - это гоморфизм из кольца кобордизмов в R. Род называется эллиптическим, если его формальный логарифм равен разложению в нуле некоторой эллиптической функции. Род Виттена - универсальный эллиптический род.

В докладе я расскажу производно-геометрическую конструкцию спектра топологических модулярных форм и выведу некоторые его свойства. Одним из них является струнная ориентация спектра tmf. Используя это, я докажу, что для многообразий со струнной структурой род Виттена пропускается через кольцо топологических модулярных форм.

15.03.2016

Дмитрий Адлер (НИУ ВШЭ). Формы Якоби, построенные по системам корней.

Аннотация: Как известно, для каждой решётки с определённым на ней скалярным произведением можно определить понятие форм Якоби. В 1992 году К. Виртмюллер показал, что для решёток, построенных по классическим системам корней (кроме $E_8$), соответствующее пространство форм Якоби является свободной алгеброй над кольцом модулярных форм. Однако доказательство К. Виртмюллера весьма громоздкое и, вероятно, может содержать некоторые пробелы. В своём докладе я расскажу о другом возможном подходе к доказательству этого результата, разобрав случаи систем корней $A_n$ и $B_n$".
22.03.2016

Максим Леенсон (НМУ). О некоторых соответствиях между многообразиями модулей векторных расслоений на алгебраических поверхностях.

Аннотация: Мы определяем простое соответствие между пространствами модулей векторных расслоений на алгебраической поверхности S и схемой Гильберта точек на S. Нам кажется, что это соответствие играет роль классического отображения Абеля-Якоби для некоторых вопросов геометрии поверхностей, (отличных от изучения рациональной эквивалентности.) Пусть задана локальная система f (комплексных векторных пространств, или l-адическая) на поверхности S. При помощи этого соответствия мы определяем комплекс пучков b_f на многообразии модулей векторных расслоений на S. После этого мы определяем два [других] соответствия многообразия модулей М векторных расслоений на S с самим собой. Нам кажется, что они оба играют роль преобразований Гекке-Тюрина на кривых. Эти два соответствия получаются из двух видов подмногообразий на поверхности: 0-циклов, и кривых. (Кроме того, мы даем адельную интерпретацию этих двух соответствий). После этого мы изучаем поведение пучка b_f относительно этих соответствий (и его "отклонение" от собственного вектора для этих "операторов Гекке").

29.03.2016

Павел Попов (НИУ ВШЭ, НМУ). Ложные проективные плоскости.

Аннотация: Рассказ будет посвящен гладким комплексным поверхностям с числами Бетти как у проективной плоскости, но не изморфных ей (т.е. ложным проективным поверхностям). Канонический класс таких поверхностей всегда обильный. Подробно обсудим когда 2 и 3-канонические отображения являются вложениями, следуя работам:

[BC16] Exceptional collections and the bicanonical map of Keum’s fake projective planes, Gennaro Di Brino, Luca F. Di Cerbo
[GKMS15] Derived categories of Keum’s fake projective planes, S. Galkin, L. Katzarkov, A. Mellit, E. Shinder
[Cerbo16] Toledo invariant and the Seshadri constants of a fake projective plane, Luca F. Di Cerbo
[Keum08] Quotients of fake projective planes, J. Keum
[Stover15] Notes on the Toledo invariant, Matthew Stover

5.04.2016

Валерий Гриценко (CEMPI, Lille/лаборатория АГ, ВШЭ). Автоморфные формы и новый класс Лоренцевых алгебр Каца-Муди.

Аннотация: В этом докладе я дам обзор нашей недавней работы с В.В. Никулиным “Lorentzian Kac-Moody algebras with Weyl groups of 2-reflections” (arXiv: 1602.08359,  75 pp.). В частности, я хочу рассказать о  произведениях Борчердса, связанных с системами корней D4 и F4. Я постараюсь также кратко наметить некоторые приложения построенных авторморфных форм и соответствующих алгебр Каца-Муди в геометрии и, возможно, физике, над которыми наш семинар может поработать в этом году.
12.04.2016 (совместная сессия с заседанием с Московского математического общества, 18ч30 мин., ауд. 16-10 Главного здания МГУ)

Сергей Галкин (НИУ ВШЭ). Алгебры геометрий.

Аннотация: Я расскажу несколько конструкций колец, образующие которых параметризуются алгебраическими или симплектическими многообразиями, такие как кольцо Гротендика многообразий и кольцо бордизмов. Эти кольца обладают дополнительными алгебраическими операциями (симметрические степени, операции Ландвебера-Новикова). В них можно доказывать интересные тождества, например тождество, связывающее кубическую гиперповерхность с многообразием прямых на ней. Также я обсужу возможные применения этих операций и тождеств для изучения вопросов рациональности (arXiv:1405.5154) и доказательства гамма-гипотез (arXiv:1404.6407).

19.04.2016

Александр Калмынин (НИУ ВШЭ). Дзета-функция Фибоначчи.

Аннотация: Я расскажу о том, как дзета-функция Фибоначчи и некоторые другие лакунарные ряды Дирихле связаны с модулярными формами, и почему при изучении их арифметических свойств полезно пользоваться теоремой Нестеренко об алгебраической независимости рядов Эйзенштейна. Также я постараюсь объяснить, почему теорема Нестеренко-- это q-аналог утверждения о трансцендентности числа \pi и у чего еще бывают q-аналоги.

24.05.2016

Алексей Голота (НИУ ВШЭ). Арифметичность ложных проективных плоскостей (по Клинглеру).

Аннотация: Ложные проективные плоскости это компактные комплексные поверхности с числами Бетти как у СР^2, но не изоморфные СР^2. Такие поверхности впервые были построены Мамфордом. Из теоремы Калаби-Яу следует, что ложные проективные плоскости являются факторами шара В_2 / Г, где Г -- кокомпактная решётка в PU(2,1). В своей статье 2003 года Б. Клинглер доказал, что решётки в PU(2,1), которые получаются как фундаментальные группы ложных проективных плоскостей, арифметические. Известная теорема Маргулиса о супержёсткости сводит задачу к изучению представлений Г --> PGL_3(k), где k -- локальное поле. Тем не менее, доказательство Клинглера использует множество полезных геометрических конструкций и результатов (спектральное накрытие, теория Громова-Шоэна, результаты Симпсона о представлениях фундаментальных групп). В своём докладе я в общих чертах расскажу доказательство Клинглера, сформулировав при этом все необходимые результаты и идеи.

4.10.2016

В. Гриценко (ВШЭ и  CEMPI, Lille et IUF, Paris). Тета-блоки и произведения Борчердса

Произвольно взятое  произведение Борчердса является мероморфной автоморфной формой. Как построить серии разумных примеров голоморфных произведений Борчердса? Этот вопрос особенно интересен, если мы наложим ограничения на вес модулярных форм. В этом случае будут получены  примеры модулярных форм,  связанные с  различными  структурами: канонические дифференциальные формы на пространствах модулей, L-функции абелевых поверхностей, производящие функции в топологии и теории струн и т.д.

В этом вводном докладе (планируется на  90 минут и рассчитан и на новых  участников) будет дан обзор результатов, полученных в моей совместной работе с C. Poor и D. Yuen  “Borcherds products everywhere” J. Number Theory 148 (2015), 164–195. Я опишу общие принципы нашего подхода к построению голоморфных произведений Борчердса в случае Зигелевых модулярных форм и сформулирую рабочие вопросы по данной теме. После доклада мы обсудим план работы семинара на этот семестр.

4.10.2016

В. Гриценко (ВШЭ и CEMPI, Lille et IUF, Paris). Тета-блоки и произведения Борчердса

Произвольно взятое  произведение Борчердса является мероморфной автоморфной формой. Как построить серии разумных примеров голоморфных произведений Борчердса? Этот вопрос особенно интересен, если мы наложим ограничения на вес модулярных форм. В этом случае будут получены  примеры модулярных форм,  связанные с  различными  структурами: канонические дифференциальные формы на пространствах модулей, L-функции абелевых поверхностей, производящие функции в топологии и теории струн и т.д.

В этом вводном докладе (планируется на  90 минут и рассчитан и на новых  участников) будет дан обзор результатов, полученных в моей совместной работе с C. Poor и D. Yuen  “Borcherds products everywhere” J. Number Theory 148 (2015), 164–195. Я опишу общие принципы нашего подхода к построению голоморфных произведений Борчердса в случае Зигелевых модулярных форм и сформулирую рабочие вопросы по данной теме. После доклада мы обсудим план работы семинара на этот семестр.

11.10.2016

В. Голышев (ИППИ РАН). Эллиптический дилогарифм Блоха и тета-функция Якоби.

Будут предложены три задачи разной степени сложности про связь производной L-функции эллиптической кривой над \Q в нуле и интегралов выражений от тета-функции Якоби.

18.10.2016

А.Калмынин (НИУ ВШЭ).Вопрос P1 из доклада Василия Голышева.

В докладе "Эллиптический дилогарифм Блоха и тета-функция Якоби", прочитанном на автоморфном семинаре (11.10.2016), В. Голышев сформулировал несколько вопросов и проблем различной сложности. Будет представлена попытка решения самого первого из поставленных вопросов, вопроса P1, связанного с тэта-функциями Якоби.

8.11.2016

В.Гриценко (ВШЭ/Лаборатория Пенлеве, Лилль/IUF).Формы типа Якоби и модулярные формы с t-параметром.

В предыдущем докладе Александр Калмынин показал связь поведения тета-функции с дополнительным параметром бинарной квадратичной формы с классической проблемой Гаусса. Автоморфный объект, рассмотренный Калмыниным, является формой типа Якоби. В докладе я расскажу о таких формах и предложу новое доказательство построения форм типа Якоби по любой модулярной форме.Интересно, что аналогичное доказательство проходит и для форм Якоби многих переменных. В конце доклада я планирую сформулировать несколько рабочих вопросов о формах типа Якоби и модулярных формах с параметром.

15.11.2016

Д.Терешкин (НИУ ВШЭ).Производящие функции топологических инвариантов и FI-модули.

FI-модули, придуманные Иешаей Шуром (а может, и раньше), являются естественной "S_n-эквивариантной" аналогией градуированных объектов в какой-то категории С. Их связи с автоморфными формами не очень ясны, но определённо существуют. Я приведу два примера такой конвергенции и немного расскажу про результаты о разного рода жёсткости и простоте локальной структуры этих образований.

22.11.2016

В.Спиридонов (ЛТФ ОИЯИ).Эллиптические гипергеометрические функции, SL(3,Z) и линзовое пространство.

Доклад будет состоять из двух частей. В первой я расскажу об SL(3,Z)-преобразованиях эллиптической гамма-функции и появлении набора диофантовых уравнений из условия SL(3,Z)-ковариантности для подынтегральных выражений эллиптических гипергеометрических интегралов, описывающих суперконформные индексы суперсимметричных теорий поля на четырехмерном пространстве S^1 x S^3. Во второй части я опишу функции, связанные с переходом от трехмерной сферы S^3 к специальному пространству линз L(r,1). Они описываются конечными суммами обычных эллиптических гипергеометрических интегралов с очень специальным выбором параметров. При этом возникают новые точно вычисляемые интегралы и любопытные преобразования симметрии соответствующего аналога гипергеометрической функции Эйлера-Гаусса, описываемые действием группы Вейля системы корней E_7 в пространстве Z^8.

06.12.2016

Дмитрий Адлер (ВШЭ). Формы Якоби и системы корней

Как известно, для каждой решётки с определённым на ней скалярным произведением можно определить понятие форм Якоби. В 1992 году К. Виртмюллер показал, что для решёток, построенных по классическим системам корней (кроме $E_8$), соответствующее пространство форм Якоби является свободной алгеброй над кольцом модулярных форм. Однако доказательство К. Виртмюллера весьма громоздкое и, вероятно, может содержать некоторые пробелы. В своём докладе я докажу теорему в случае систем корней $A_n$, используя метод автоморфной коррекции.

13.12.2016

В.Гриценко (ВШЭ/Лаборатория Пенлеве, Лилль/IUF. Структура градуированнoго кольца слабых форм Якоби и “эллиптизация” многочленов Ходжа алгебраических многообразий.

Формы Якоби индекса 1 для приводимой системы корней 2A_1=A_1+A_1 ранга 2 уже появлялись на нашем семинаре в докладе Дениса Терешкина в связи с эллиптизацией полинома Ходжа поверхности K3. Формам Якоби типа A_n был посвящен предыдущий доклад Димы Адлера. Биградуированное кольцо слабых форм Якоби типа 2A_1 от двух абелевых переменных устроено много проще, чем в случае неприводимых систем корней А_n. Однако простейшая приводимая система корней достаточно интересна с автоморфной точки зрения, т.к. она позволяет по другому доказывать классические формулы из теории абелевых функций (например, формулу сложения для функции Вейерштрасса). Основной результат доклада — описание структуры градуированного кольца J_{0,*}(Z) слабых симметричных форм Якоби типа 2A_1 веса 0 с целыми коэффициентами. Гипотетически, в этом кольце будут лежать возможные эллиптизации многочленов Ходжа некоторых комплексных многообразий. Напомним, что для y-рода Хирцебруха многообразий с тривиальным первым классом Черна эллиптический род является обычной слабой формой Якоби веса 0 типа Загира-Эйхлера (тип A_1).

20.12.2016

В.Гриценко (ВШЭ/Лаборатория Пенлеве, Лилль/IUF. Рефлективные модулярные формы и исключительные особенности Арнольда.

Будут построены автоморфные дискриминанты девяти исключительных особенностей Арнольда. Для трех особенностей эти функции были построены в препринте Гриценко и Никулина Lorentzian Kac-Moody algebras with Weyl groups of 2-reflections ( arXiv:1602.08359, 75 стр.) как формулы знаменателя Лоренцевых алгебр Каца-Муди гиперболических рангов 7, 8 и 9. В докладе мы докажем новую теорему, которая дает дискриминанты по-крайней мере девяти исключительных особенностей из четырнадцати.

Андрей Илюхин Дискриминантные гиперповерхности в теории особенностей.

При изучении особенностей голоморфных функций естественно возникают версальные деформации (специальные семейства функций) и их дискриминантные гиперповерхности. Хорошо известно, что для простых особенностей (ABCDEF) эти гиперповерхности объемлемо биголоморфны дискриминантам групп Вейля одноимённых систем корней. Для следующих по сложности особенностей — унимодальных — должно быть нечто похожее с участием гиперболических групп отражений. Планируется рассмотреть разрешения некоторых локусов дискриминантных гиперповерхностей, вскрывающие любопытные (для простых особенностей) и очень интересные (для унимодальных) симметрии между классами особенностей. (В случае простых особенностей эти симметрии объясняются симметриям систем корней.) Никаких предварительных знаний не предполагается, необходимые сведения из теории особенностей будут сообщены слушателям.

27.12.2016

Артем Калмыков (ВШЭ) . Зеркальная симметрия для абелевых многообразий

Теорема Гивенталя связывает две формальные функции: J-функцию, считающую рациональные кривые на многообразии, и I-функцию, строящуюся по вееру торического многообразия и (потенциально) описывающую зеркальное семейство. К сожалению, она работает только для полных пересечений в торических многообразиях, однако благодаря недавним результатам Ciocan-Fontanine--Kim--Sabbah ее можно обобщить до чуть более широкого класса многообразий. Например, с помощью их конструкции можно получить (нетривиальную) J-функцию для некоторых абелевых многообразий. В докладе я планирую рассказать, как по этой функции получаются модулярные формы, по которым строится семейство абелевых многообразий, и почему это семейство можно назвать зеркальным.

 

Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!